分数背包问题(分数背包问题贪心算法)
分数背包问题是一种经典的动态规划问题，与完全背包问题类似，但物品的重量和价值可以为分数。
问题描述
给定一个容量为 W 的背包和 n 件物品，每件物品都有重量 w i 和价值 v i 。其中，w i 和 v i 可以为分数。
目标是找到一个物品子集，装入背包中，使得总重量不超过 W，且总价值最大。
贪心算法
对于分数背包问题，不存在严格意义上的贪心算法。
有一种经过改进的贪心算法，称为物品价值密度贪心算法。
该算法基于以下思想：将物品参数：items: [(w1, v1), (w2, v2), ...]，其中 wi 是物品重量，vi 是物品价值capacity: 背包容量返回：最大总价值"""按价值密度排序物品items.sort(key=lambda item: item[1] / item[0], reverse=True)初始化背包重量total_weight = 0总价值total_value = 0遍历物品for weight, value in items:如果物品重量小于等于剩余背包容量if weight <= capacity - total_weight:将物品完全装入背包total_weight += weighttotal_value += value如果物品重量大于剩余背包容量else:将物品的一部分装入背包fraction = (capacity - total_weight) / weighttotal_weight += weight fractiontotal_value += value fractionbreakreturn total_value```
例子
考虑以下问题：
背包容量：W = 5物品：{{3, 4}, {2, 3}, {1, 2}, {4, 5}}价值密度排序| 物品 | 重量 | 价值 | 价值密度 ||---|---|---|---|| 4 | 4 | 5 | 1.25 || 3 | 3 | 4 | 1.33 || 2 | 2 | 3 | 1.50 || 1 | 1 | 2 | 2.00 |物品价值密度贪心算法按价值密度排序后：{1, 2}, {2, 3}, {3, 4}, {4, 5}背包重量：0物品：{1, 2}物品：{2, 3}物品：{3, 4}物品：{4, 5}，但背包容量为 5，剩余背包容量为 2，因此只装入 2/4的物品。最大总价值：2 + 3 + 3 + 2.5 = 10.5结论
物品价值密度贪心算法为分数背包问题提供了一种近似解。
虽然该算法不能保证得到最优解，但它通常能够得到接近最优的解，并且计算效率高。
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